सामग्रीची ओळख: निसर्ग आणि गुणधर्म (भाग 1: सामग्रीची रचना)
प्रा.आशिष गर्ग
साहित्य विज्ञान आणि अभियांत्रिकी विभाग
इंडियन इन्स्टिट्यूट ऑफ टेक्नॉलॉजी, कानपूर
व्याख्यान – १०
मिलर निर्देशांक (विमाने आणि दिशा)
या व्याख्यानात आम्ही मिलर निर्देशांक, विमाने आणि दिशा या विषयांवर चर्चा करू. आम्ही पाहिलेल्या आधीच्या व्याख्यानांमध्ये आम्हाला स्फटिकशास्त्र, जाळी, स्फटिक प्रणाली, ब्राव्हाइस जाळी आणि सममिती आणि त्यांचे परस्परसंबंध या मूलभूत तत्त्वांचा विचार आला होता. आता, आपण दिशा आणि विविध टप्प्यांच्या बाबतीत स्फटिकांचे प्रमाण कसे मोजू शकतो हे समजून घेण्याचा प्रयत्न करू कारण हे ज्ञान स्फटिकांमधील विविध गुणधर्मांचा अॅनिसोट्रॉपी, दिशात्मक प्रतिसाद यांचा परस्परसंबंध समजून घेण्यासाठी खूप महत्वाचे आहे. म्हणून, जर आपण एका दिशेने काही गुणधर्म मोजले, तर ते इतर दिशांपासून वेगळे आहे आणि हे यांत्रिक गुणधर्म, विद्युत गुणधर्म, औष्णिक गुणधर्म आणि इतर चुंबकीय गुणधर्मांबद्दल खरे आहे.
म्हणून, गुणधर्मांचा दिशांशी संबंध जोडण्यासाठी, आपल्याला क्रिस्टलच्या दिशा आणि विमाने मोजण्याची पद्धत असणे आवश्यक आहे आणि तेथेच मिलर निर्देशांकांची ही संकल्पना चित्रात येते.
(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: ०१:३२)
मी येथे एक साधा समांतर पिप काढलेला आहे. तर, आपण पाहू शकता की या अणूंमधील वेगळेपणा किंवा अंतर हे काहीतरी वेगळे आहे जे आपल्याला मूळ २ नुसार म्हणू देते. तर, वेगवेगळ्या अणूंमध्ये एकमेकांच्या संदर्भात वेगवेगळे अंतर असते हे लक्षात घेता. गुणधर्मही वेगवेगळ्या दिशेने बदलतात. म्हणून, जर मी या दिशेने काही प्रतिसाद मोजला, तर तो दुसर् या दिशेने मोजल्या जात असलेल्या प्रतिसादापेक्षा वेगळा आहे. तर, म्हणूनच ही दिशा काय आहे हे समजून घेणे आवश्यक आहे. त्याचप्रमाणे, आपण पाहू शकता की क्रिस्टलच्या वेगवेगळ्या चेहऱ्यांची अणुघनता वेगवेगळी असते, उदाहरणार्थ, या चेहऱ्यावर हे चार अणू विशिष्ट अंतरावर आहेत, जर मी हा चेहरा बनवला तर त्याची घनता पुन्हा समान आहे, परंतु त्याची घनता वेगळी आहे. जेव्हा आपण एफसीसी आणि बीसीसी संरचनांमध्ये जाता तेव्हा ते बदलेल. उदाहरणार्थ, या चेहऱ्याची घनता वेगळी आहे. परिणामी, त्यांना वेगळा प्रतिसाद मिळेल कारण त्यांच्यामध्ये अणूंचे अंतर वेगळे असते आणि या दिशांमध्ये वेगळ्या प्रकारे पॅक केले जाते. म्हणून, म्हणूनच या गोष्टीमोजण्यासाठी एक प्रणाली विकसित करणे आवश्यक आहे.
(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: ०४:११)
मिलर निर्देशांक विल्यम हॉलोसे मिलर नावाच्या व्यक्तीच्या नावावर आहेत, ज्यांनी ही संज्ञा दिली आणि म्हणूनच त्यांना मिलर निर्देशांक म्हणतात. क्रिस्टललोग्राफिक विमाने स्फटिकांच्या पैलूंशिवाय काहीही नाहीत जे आपण स्फटिकांचे पैलू म्हणू शकता की ते परिभाषित केले आहेत, म्हणून, हे ओळखण्यासाठी आहे की ते एका विमानासाठी (एच के एल) म्हणून परिभाषित केले गेले आहेत. तथापि, हे एका स्फटिकाच्या रचनेवर अवलंबून असलेल्या समान विमानांच्या संचासाठी असू शकते, मग ते केवळ घन असो किंवा टेट्रागॉनल असो. तर, आपण टेट्रागॉनलसाठी समान अर्थ लिहू शकत नाही.
दुसरी गोष्ट म्हणजे स्फटिकातील विविध अणुदिशांमध्ये स्फटिकशास्त्रीय दिशा, आणि हे [यू विरुद्ध डब्ल्यू] आणि <यू विरुद्ध डब्ल्यू> दिशांच्या संचाचे प्रतिनिधित्व करतात. पुन्हा विमानांप्रमाणेच ते स्फटिकाच्या रचनेवर अवलंबून असते आणि येथे एच, के, एल आणि आपण, व्ही, डब्ल्यू इंटेजर आहेत आणि ते सकारात्मक किंवा नकारात्मक असू शकतात.
(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: ०७:२८)
जेथे एक्स-अक्षावर विमानाच्या इंटरसेप्टवर एच/ए इंटरसेप्ट केले जाईल, तेथे एच/बी वाय-अक्षावर अडवले जाईल, एल/सी झेड-अक्षावर अडवले जाईल. आणि ए, बी, सी हे जाळीच्या मापदंडांचे युनिट सेल लांबी आहे. आणि एच, के, एल मिलर निर्देशांक आहेत.
(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: ०९:०३)
उदाहरण | एक्स | वाय | झेड |
फ्रॅक्शनल इंटरसेप्ट्स | |||
परस्पर | |||
अंतिम | (6 4 3) | ||
आपण असे म्हणू या की, माझ्याकडे असे समांतर ग्राम आहे, आपण असे म्हणू या की हे मूळ आहे आणि मी याची व्याख्या ए, २ ए, ३ ए इत्यादी काही एकाधिक म्हणून करतो. तर, हे 4ए, 6ए आणि हे 2ए असेल. तर, माझ्याकडे एक शरीर आहे जे असे काहीतरी आहे आणि जर मी हे जोडले तर हे माझे विमान आहे. तर, मी माझ्या युनिट सेलपॅरामीटर्स इतके, ए ४ ए च्या बरोबरीने आहे, बी ८ ए च्या बरोबरीने आहे आणि क ३ ए च्या बरोबरीने आहे. फ्रॅक्शनल इंटरसेप्ट ्स काय आहेत?
तर, एक्स सह फ्रॅक्शनल इंटरसेप्ट 2ए आहे बाय बाय बाय एक्स, वाय इट 6ए बाय 8ए आणि झेडसह, ते 3ए ने विभागलेले आहे. तर, हे 1 ओव्हर 2 आहे, हे 3 ओव्हर 4 आहे आणि हे 1 आहे. तर, आता, आपण हे परस्परांमध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक आहे. विमानाचे निर्देशांक (एच के एल) इन्टेजर असणे आवश्यक आहे. तर, आपण हे इंटेजर्सच्या सर्वात लहान संचात रूपांतरित करणे आवश्यक आहे. मग, जर तुम्ही हे इंटेजर्सच्या सर्वात लहान सेटमध्ये रूपांतरित केले, तर तुम्हाला काय मिळते? तुम्हाला ६, ४ आणि ३ मिळतात. तर, हे विमान (६ ४ ३) आहे. अशा प्रकारे तुम्ही दिलेल्या विमानाचे मिलर निर्देशांक ठरवता. त्याचप्रमाणे, आपण हे विमान म्हणू या यासाठी हीच कसरत करूया.
उदाहरण | एक्स | वाय | झेड |
फ्रॅक्शनल इंटरसेप्ट्स | ∞ | ∞ | |
1 | ∞ | ∞ | |
परस्पर | 1 | 0 | 0 |
अंतिम | (1 0 0) | ||
(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: १४:०५)
युनिट सेलचे विमान निश्चित करण्याच्या प्रक्रियेत मूळ परिभाषित करणे, इंटरसेप्ट निश्चित करणे, परस्पर घेणे आणि नंतर इन्टेजर्सच्या सर्वात लहान संचात रूपांतरित करणे समाविष्ट आहे. इंटेजर्सचा सर्वात लहान संच का? कारण जर तुम्ही (० १ ०) आणि (० २ ०) समांतर विमाने पाहिली तर एक युनिट सेलच्या अर्ध्या अंतरावर आहे; दुसरा युनिट सेलच्या पूर्ण अंतरावर आहे. तर, एच के एल आणि २ एच, २ हजार, २ एल आणि ३ एच, ३ हजार, ३ एल ही विमाने एकाच प्रकारची आहेत आणि ती एकमेकांना समांतर आहेत, फक्त त्यांच्यातील अंतर वेगळे आहे.
(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: १५:४५)
मी तुम्हाला (१ २ ३) काढायला सांगतो, मी एक युनिट सेल काढतो आणि मूळची निवड खूप महत्त्वाची आहे. तर, जर तुमच्याकडे (१ २ ३) असेल, तर तुम्ही मूळ कसे निवडता? आपण पाहू शकता की जेव्हा आपल्याकडे कोणताही नकारात्मक नसतो तेव्हा एच इंटरसेप्ट सकारात्मक एक्स-डायरेक्शनमध्ये असते हे सामान्यत: निश्चित केले जाते. तर, जर तुमच्याकडे नकारात्मक चिन्ह असेल तर ते असेल ). तर, याचा अर्थ असा आहे की जर तुमच्याकडे १ असेल, तर आपण आपला इंटरसेप्ट सकारात्मक एक्स-डायरेक्शनच्या बाजूने हलवत असाल, 2 म्हणजे अर्धा इंटरसेप्ट सकारात्मक वाय-डायरेक्शनच्या बाजूने आहे आणि 3 म्हणजे सकारात्मक झेड-डायरेक्शनसह इंटरसेप्टचा एक तृतीयांश.
तर, ज्या मूळाने सर्व ३ दिशांचे समाधान केले ते हे मूळ आहे. म्हणून, जर मी हे मूळ ओ म्हणून निवडले, तर एक्स-अक्षाच्या बाजूने माझा इंटरसेप्ट १ आहे. तर 1, 2, 3 असावेत म्हणून आपण 1, 2, 3 लिहा 1, 1/2 आणि 1/3 परस्पर घ्या. तर, हे परस्पर आहेत आणि नंतर त्यांना युनिट सेलमध्ये इंटरसेप्ट म्हणून ठेवतात.
उदाहरण | एक्स | वाय | झेड |
इंटरसेप्ट | 1 | 2 | 3 |
परस्पर | 1 | ½ | 1/3 |
अंतिम | (6 4 2) | ||
प्रत्येक लागोपाठ (२ ४ ६) विमानाला प्रत्येक सलग (१ २ ३) विमानाच्या तुलनेत जवळ स्थान दिले जाईल. तर, हे विमानांच्या कुटुंबाशिवाय किंवा एकमेकांना समांतर असलेल्या विमानांच्या संचाशिवाय दुसरे काही नाही.
(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: १९:४८)
आता, आपण असे म्हणू या की मला एक विमान काढायचे आहे जे नकारात्मक व्याज निर्देशांक आहे. म्हणून, मी एक युनिट सेल काढतो आपण म्हणू या की मला चित्र काढायचे आहे . म्हणून मी माझे मूळ येथे हलवतो, मी सकारात्मक एक्समध्ये जाऊ शकतो आणि जर मी त्या दिशेने गेलो तर मी नकारात्मक वाय मध्ये जातो आणि हे युनिट सेलमध्ये असणे महत्वाचे आहे. म्हणून, जर मी असे केले की एक्सवरील हा इंटरसेप्ट आहे, तर हा वजा वाय वरील इंटरसेप्ट आहे, आणि झेडवर कोणताही इंटरसेप्ट नाही, याचा अर्थ तो झेडला समांतर आहे, तो अनंत आहे. तर, विमान हे असेल आणि म्हणून, हे असेल . तर, आपण आता घरी व्यायाम करू शकता. तर, मी आताच या प्रकरणात शेवटचा व्यायाम करेन.
उदाहरण | एक्स | वाय | झेड |
इंटरसेप्ट | 1 | -1 | ∞ |
परस्पर | 1 | -1 | 0 |
अंतिम | |||
(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: २२:००)
मी फक्त एक युनिट सेल काढतो आणि हे कसे शोधावे याबद्दल आपल्याला मदत करण्यासाठी, आता आपण म्हणू या की मी एक यादृच्छिक विमान काढू इच्छितो. म्हणून, मी हा मुद्दा जोडतो, हा मुद्दा आणि हा मुद्दा म्हणजे हे वैध विमान आहे, एक्सच्या बाजूने इंटरसेप्ट करा, वाय च्या बाजूने इंटरसेप्ट करा आणि झेडसह इंटरसेप्ट करा.
मग, आता तुम्ही मूळ कसे निवडता? तर, आपण पाहू शकता की येथे युक्ती आपल्याला असे म्हणू द्या, हे अर्धे बरोबर आहे हे अर्धे आहे. तर, आपण पाहू शकता की जर आपण हा मुद्दा निवडला तर हा बिंदू येथून वजा अर्ध्या एक्सच्या अर्ध्या वर आहे, हे एक्स, -1/2 सोबत एक्स, -1/2 वर आहे आणि हे झेडसह 1/2 आहे. जर तुम्ही परस्पर घेतले, तर हे -2, -2, 2 बनते किंवा हे काही नाही .
तर, १, बार १, १ विमान काय आहे? मुळात १ बार १ विमान हे असेल आणि जर मी हे एकत्र ठेवले तर काहीही नाही, तर समांतर विमान, परंतु जर तुम्हाला हे लाल विमान निश्चित करावे लागले तर हे १ वैध विमान आहे तसेच येथे अणू बसू शकतो. तर, हे करण्याचा एक मार्ग म्हणजे आपण हे या पद्धतीने करता किंवा हे करण्याचा दुसरा मार्ग म्हणजे समांतर विमान काढणे जेणेकरून आपण एका कोपऱ्यावर असलेले मूळ निवडू शकता, याचा अर्थ आपल्याला समांतर विमाने आणखी एक समांतर विमान काढायची आहेत. तर, की या फॅशनमध्ये संपण्याऐवजी ते येथेच संपते. तर, हे व्यवस्थेच्या बाहेर जाईल.
तर, विमाने निश्चित करण्यासाठी आणि विमानांमधील अंतराबद्दल जाणून घेण्यासाठी आपण हे काहीतरी करता.
(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: २६:००)
विमानांमधील घनप्रणालीसाठी जसे दिले जाते, डएच.एल.एल.,
कुठे अ जाळीचा मापदंड आहे, आणि एच, के, एल हे मिलर निर्देशांक आहेत. तर, या विमानांमधील अंतर काय आहे किंवा आपण हे 1 0 0 विमान आणि 0 1 0 विमान घेऊ शकता, या दोघांमधील अंतर काय आहे अ.
विमान | |
(1 0 0) | |
(1 1 0) | |
(1 1 1) |
तर, अशा प्रकारे आपण विमान ाचे अंतर निश्चित करू शकता आणि आपल्याला हेदेखील आढळू शकते की वेगवेगळी विमाने वेगवेगळ्या कोनात आहेत.
(स्लाइड वेळ संदर्भित करा: २७:५०)
त्या दोघांमधील कोनाच्या मध्ये मला हिशेब करायचा असेल तर कोन cosθ म्हणून दिला जातो,
याला आंतरयोजनाकार कोन असे म्हणतात. हे केवळ घनप्रणालीसाठी आहेत. तसे टेट्रागोनल आणि ऑर्थोरहोमबिक प्रणालींसाठी संबंध वेगळे आहेत. पुढील व्याख्यानात आता आपण दिशानिर्देशांसाठी मिलर निर्देशांकांवर चर्चा करू.
धन्यवाद।